- Polin�mio Interpolador de Lagrange

Dados n+1 pontos  o polin�mio de interpola��o de Lagrange � dado por:

 

 

          

 

Assim, o polin�mio de Lagrange toma a forma:

 

 

Exemplo:

X     f(x)

X₀      f₀

X₁      f₁

X₂      f₂

X₃      f₃

 

                O polin�mio de Lagrange pode ser utilizado para pontos irregularmente espa�ados. Assim, para este caso a equa��o toma a seguinte forma:

 

 

          �  de notar que esta equa��o � formada por quatro pontos, no entanto, o grau do polin�mio � de ordem tr�s. No numerador, cada termo � constitu�do, como um produto de factores lineares da forma  omitindo um x_i em cada termo. O valor omitido � usado para formar o denominador substituindo x em cada factor do numerador. Cada termo � multiplicado por f_i correspondente ao x_i omitido nos factores do numerador.

          Para a formula��o de polin�mios de Lagrange de outras ordens segue-se o mesmo esquema de racioc�nio. A resolu��o aritm�tica deste processo � bastante vagarosa pelo que um programa computacional que implemente o m�todo facilita esta tarefa.

Uma interpola��o polinomial quando passa pelos pontos usados na sua constru��o n�o fornece os valores correctos quando � usada para interpola��o, pelo que � do nosso interesse avaliar o erro de interpola��o.

 

 em que  pertence ao intervalo que cont�m .

          Esta express�o do erro � bastante interessante, mas n�o � de grande utilidade j� que a fun��o f � geralmente desconhecida e assim n�o � poss�vel saber as (n+1) derivadas. No entanto, se se tratar de uma fun��o ‘suave’ um polin�mio de baixo grau adapta-se satisfatoriamente, por outro lado, uma fun��o ‘n�o suave’ apresentar� elevados erros de interpola��o.