1. O método do algoritmo de eliminação de Gauss

O método do algoritmo de eliminação de Gauss, é o método mais usado para resolver sistemas de equações lineares. Trata-se de um sistema com uma sequência de passos elementares, que transformam o sistema inicial, num outro em que a sua resolução é mais fácil, mas no entanto ambos são equivalentes, pois têm o mesmo conjunto de soluções. Esses passos elementares traduzem-se por:

1. Troca da ordem das equações;
2. Multiplicação de ambos os membros de qualquer das equações por um elemento real não nulo;
3. Substituição de uma das equações pela sua soma com outra equação do sistema.

Isto significa, matricialmente, que ao efectuarmos este conjunto de operações elementares à matriz que nos é dada de um sistema de equações lineares, vamos obter uma matriz denominada matriz em escada U, ou matriz triangular superior. Mas, até chegarmos a esta matriz é necessário seguir uma estratégia de forma a que se visualize no final a resposta ao problema proposto. Esta estratégia envolve, geralmente, uma troca na ordem das equações ou mesmo na ordem das incógnitas, para que no final se obtenha um novo sistema equivalente ao sistema inicial mas de mais fácil resolução: Ux = c
Os passos elementares são conduzidos de maneira a eliminar a incógnita x1 de todas as equações a partir da segunda, sendo necessário ter-se a11 não nulo; depois tem de se eliminar a incógnita x2 de todas as equações a partir da terceira (sendo necessário ter-se o novo coeficiente de x2 na segunda equação (a'22) não nulo), etc. Esta estratégia repete-se até não ser possível a sua continuação. Aos números a11,..., a'22 chamam-se os pivots da eliminação.
A matriz U, devido ao conjunto de operações realizadas, adquire uma forma especial, ou seja, uma matriz em escada satisfaz as seguintes condições:

1. Se o primeiro elemento não nulo numa linha está na coluna j, então a linha seguinte começa com, pelo menos, j elementos não nulos;

2. Se houver linhas totalmente constituídas por zeros, elas aparecem umas depois das outras.


Exemplo de matrizes em escada: