2. O método do algoritmo de Gauss-Jordan para a inversão de matrizes, usando resolução matricial de sistemas de equações lineares

Introdução:

Diz-se que uma matriz A é invertível, ou não singular, se existir uma matriz B quadrada (m = n) de ordem n, tal que AB = BA que por sua vez é igual à matriz identidade In que se trata de uma matriz cujos elementos são nulos quando i diferente de j e iguais a 1 quando i = j, sendo ,então, B a matriz inversa de A : B = A^-1
Quando uma matriz A é invertível, então a matriz inversa de A é única.

Demonstração
Seja A', A'' e Mm×n (K):

AA' = A'A = In e AA'' = A''A = In então:

A' = A'In = A'(A''A) = (A'A)A'' = InA'' = A''

A^-1 é a matriz inversa de A

Método

Para calcular a inversa, caso exista, de uma matriz quadrada A calcula-se uma matriz B (a inversa de A) tal que AB = I_n.

Para isso, é necessário achar as colunas da inversa de A, e portanto tem de se resolver n sistemas, todos com a mesma

matriz A. A finalidade do algoritmo de Gauss-Jordan, é o de levar a cabo a eliminação em todos os n sistemas ao mesmo

tempo e não parar na matriz em escada U, tal como o método de eliminação de Gauss, continuando, agora com a

eliminação "ascendente", usando os pivots para anular os elementos acima da diagonal principal e, por fim, achar os

valores das incógnitas dividindo cada linha pelo correspondente pivot.

Observação: O algoritmo de Gauss-Jordan é apenas um processo cómodo e sugestivo de inverter pequenas matrizes

facilmente e "à mão". Isto porque, na prática computacional real, se por qualquer razão for necessário conhecer a

inversa de uma matriz A, o que se faz é uma factorização do tipo LU: escreve-se PA = LU, calcula-se L^-1 e U^-1

pelo algoritmo de Gauss-Jordan (L e U são matrizes triangulares) e tira-se A^-1 = U^-1L^-1P.