3. Aplicação da Teoria dos Determinantes ao cálculo da inversa de uma matriz usando sistemas de equações lineares

A matriz inversa (de uma matriz invertível), pode também ser calculada através da Teoria dos Determinantes.

Para isso, utiliza-se a Regra de Cramer, que é um método de resolução de sistemas, utilizando-se a teoria dos determinantes.

Introdução Teórica:

Um determinante de uma matriz é um número associado e dependente apenas dos elementos dessa matriz quadrada que informa da sua invertibilidade. Assim, se o determinante de uma matriz é diferente de zero, a matriz em causa é invertível.
Os determinantes podem ser calculados por várias formas. Através do Teorema de Laplace, que diz que o determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha pelos respectivos complementos algébricos (1 < i < n); o mesmo vale para as colunas. Pode também calcular-se o determinante de matrizes de ordem baixa, aplicando a chamada Regra de Sarrus.
A forma mais fácil de calcular uma matriz inversa é através do seu determinante. Inicialmente é necessário verificar se o determinante é diferente de zero, condição necessária e suficiente para garantir a invertibilidade da matriz. Em seguida calcula-se a matriz adjunta e finalmente a matriz inversa. Convém então definir-se matriz adjunta: Dada A = [aij] nxn, a matriz dos complementos algébricos de A é a matriz n x n Ã^T = [(-1)^i+j det(Aij)]. À matriz Ã^T chama-se adjunta de A.

Regra de Cramer

A regra de Cramer, só é aplicável se e só se o sistema for possível e dterminado. Dado o sistema Ax = b, com A nxn invertível, a única solução do sistema é a coluna cujos elementos são os quocientes entre o det(A(i)) e o det(A), com i a variar de 1 a n, sendo A(i) a matriz que se obtém de A substituindo a coluna i por b. Este método de resolução de um sistema de n equações lineares a n incógnitas, possível e determinado, designa-se por Regra de Cramer.

Observações:

Embora, à partida, esta regra seja apenas aplicável a sistemas de Cramer, na realidade verifica-se, com algumas adaptações, a possibilidade de utilizá-la na resolução de qualquer sistema possível, englobando sistemas determinados e indeterminados. O único interesse computacional que esta regra tem é para valores pequenos de n, devido à necessidade de calcular os determinantes durante a resolução dos sistemas de equações lineares.

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