O objectivo deste trabalho é a aplicação de conhecimentos adquiridos na cadeira “Optimização” à resolução computacional de um problema, preferencialmente da vida real.

            Foi escolhida a distribuição de operários da fábrica de recauchutagem de pneus “Recauchutagem 31”, localizada em Alcobaça, como função a optimizar.

             A recauchutagem é um processo de reaproveitamento de pneus em fim de vida. Inicia-se com uma inspecção do estado geral do pneu, para verificar a sua aproveitabilidade – furos, locais de encaixe com a jante, etc. Procede-se então à raspagem, utilizando-se conjuntos de 20 a 30 discos dentados de aço. Este passo é feito automaticamente, necessitando apenas que o operador retire o pneu e faça uma vistoria contínua. Segue-se a colocação manual de cola por forma a facilitar a vulcanização da borracha. Após isto, cada pneu é cozido numa máquina de moldagem, usando vapor a 160ºC e 14 bar. Posto isto, o pneu segue para uma inspecção final com uma máquina de raios X cuja função é verificar a sua integridade estrutural. Se o pneu for considerado apto é enviado para o armazém de produtos acabados. Caso contrário, equaciona-se a sua recuperabilidade. Assim, ou segue novamente para a secção de raspagem, ou é enviado para incineração.

            A fábrica em estudo possui várias linhas de produção: recauchutagem a frio e a quente para veículos pesados, a quente para veículos ligeiros e a frio para veículos agrícolas. No problema em questão foi seleccionada a linha de produção para veículos ligeiros.

             Pretende-se optimizar a distribuição de operários de modo a maximizar o lucro empregando um número mínimo de operários, mas garantindo uma produção mínima de 20 unidades (pneus) por hora e máxima de 40. Para tal pretende-se encontrar o número óptimo de operários nas diversas secções, supondo laboração contínua e inexistência de acumulação de pneus entre as diversas secções (“estado estacionário”). 

            As especificações do problema são as seguintes: 

· 1 operário por máquina (exceptuando na secção de cozedura);

· A produção da fase de cozedura é, a grosso modo, uma função do logaritmo do número de operários nessa fase. Esta função foi aproximada por uma função linear devido a dificuldades de implementação computacional;

· Base de cálculo – 1 hora de laboração;

· 8 horas diárias de laboração contínua. 

            Em termos matemáticos, pode considerar-se que o lucro diário (em escudos) é o lucro gerado pela venda de pneus (sendo PP o seu preço unitário e Prod₁₂ o número produzido no final da linha) nas 8 horas diárias de laboração menos os custos de aquisição das matérias primas (quantificados por PMP) e os custos da mão de obra (sendo OT o número total de operários da fábrica e PMO o custo unitário da mão de obra). Esta formulação é obviamente simplista uma vez que não se consideram inúmeras variáveis tais como custos de transporte, custos de outras secções (contabilidade, administração, etc), flutuações no mercado de oferta/procura, percentagem habitual de recuperação de pneus no processo, etc.

            O problema é definido em termos matemáticos da seguinte forma: 

Originalmente este problema era do tipo MINLP (Mixed Integer Non Linear Programming), mas devido a dificuldades com a implementação computacional, aproximou-se a única restrição não-linear a uma função linear. Deste modo o problema referido passou a ser do tipo MIP (Mixed Integer Programming).  

Para efectuar a linearização da restrição logarítmica efectuou-se uma aproximação utilizando dois pontos limítrofes, como ilustra a figura 1.1. Assim sendo, passou-se de uma equação não linear y = 10 + 6 ln x  para y = 17 + 0.6 x . Esta simplificação parece ser aceitável, dentro dos limites mínimo e máximo de operários nesta secção: OC Î {4,...,20}. 

Fig. 1.1 - Linearização da restrição logarítmica. 

 As variáveis inteiras Op_i (número de operários nas n secções) podem ser definidas como uma expansão de variáveis binárias X_i de tal forma que estejam compreendidas entre um número máximo de operários U e um mínimo L. Naturalmente, de acordo com a formulação, o número de pneus numa secção i+1 terá de ser igual ou inferior ao número de pneus na secção anterior i. Considera-se ainda que na 2ª inspecção terá de haver sempre entre 20 e 40 pneus. Sendo assim, todas as variáveis são inteiras exceptuando custos e lucros. 

            Para uma melhor compreensão do processo foi elaborado um diagrama de blocos que descreve as várias etapas envolvidas (figura 1.1). 

 Fig. 1.2 – Diagrama de blocos ilustrativo da linha de produção.